【2025入試分析】阪大数学の傾向と難易度｜理系第5問（確率漸化式）を東大卒代表が初見解説！

作成日：

2026/01/29

更新日：

2026/01/29

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はじめに

旧帝大の数学は、大学ごとに傾向や入試で求められる力に違いがあります。

東京大学・京都大学（以下それぞれ東大・京大）は題材として扱われる機会が多く、解説も探しやすい一方で、大阪大学・名古屋大学・東北大学・九州大学・北海道大学（以下それぞれ、阪大、名大、東北大、九大、北大）については、傾向と対策をまとめた情報を見つけにくいと感じるのではないでしょうか。

そこでこの記事では、東大・京大以外の各旧帝大入試のそれぞれの難易度や傾向をまとめ、さらに旧帝大の中でも問題難易度が高く、高度な思考力が問われる阪大の数学にフォーカスし、2025年理系数学の過去問から、旧帝大で頻出テーマの確率漸化式を扱った第5問を題材に、初見での思考プロセスを解説します。

東大卒の弊社代表が初見で問題を見た際、どのように方針を立て、最終的な結論まで進めたのかを、途中の判断や迷いも含めて整理しました。

阪大らしい「状況整理→筋道→丁寧に計算し切る」力が学べる一問です。

この記事を読んでわかること

✅旧帝大入試それぞれの難易度・傾向
✅問題を初見で見たときの、方針の立て方
✅確率漸化式の解き方のコツ
✅阪大数学の傾向・攻略法

※この記事は、弊社代表が個人のYouTubeチャンネルにあげている動画をもとに、忙しい人でも必要な部分だけ読めるよう記事化したものです。時間がある方、動画のほうが理解しやすい方は、ぜひ動画もあわせてご覧ください。

▼動画はこちら

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大阪大学2025理系第5問を解いてみた【初見での立ち回り】

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大阪大学2025理系第5問を解いてみた【初見での立ち回り】

旧帝大の数学の大学ごとの傾向・難易度

旧帝大七大学の数学の問題は、それぞれ特徴があります。

東大・京大に関しては、メディアやインフルエンサーに取り上げられる機会も多く、傾向は有名で対策もおこないやすいです。

一方、東大・京大以外の旧帝大は志願者が多く、かつ旧帝大間で志望先を変更するということも多々あるにもかかわらず、各大学の傾向を俯瞰できるような機会は限られています。

そこで、以下に問題の難易度と傾向の概要をまとめました。

※近年の入試問題について、弊社独自の分析結果を掲載しています。

大学	難易度	特徴・傾向
大阪大学	難	文系理系ともに、京大のような抽象的な自由度の高い問題設定がなされることが多いのが特徴で、問題難易度は高めです。問題によっては計算量も要求される傾向にあります。
名古屋大学	難	旧帝大の数学の中でも、1問あたりの制限時間が一番長いですが、問題文が長かったりと、その分重厚な問題が多いです。小問による誘導は丁寧なので、手を動かしながら設定を正しく読み解いていくことが重要です。確率漸化式がよく出題されることや、問題冊子に公式集がついていることでも有名です。
東北大学	標準〜難	難易度は標準的ながら、数学的な思考力や定石を問う良問が多いです。最近（2024〜2025年）は理系第6問に重たすぎる難問が出題されています。割と文理ともに頻出分野が固定されているので、それらの対策は必須です。
九州大学	標準〜難	最近は、年度による難易度の差が激しいです。2023年は難しいセットでしたが、2024年以降は穏やかなセットが続いています。また、2022〜2023年では、長い誘導に従って考えさせる問題が出題されていましたが、最近は無くなっています。基本的には取っ付きやすい問題が多く、微積やベクトルといった頻出分野の対策が鍵となります。
北海道大学	標準	2022年（理系）と2023年（文理）はかなり厳しいセットでしたが、基本的にはオーソドックスな問題が出題されます。典型問題を計算ミス無く確実に抑えて得点化する精度が求められます。

東大卒代表が初見で阪大入試を解く思考プロセス

ここからは、東大卒の弊社代表が、完全初見で阪大2025理系第5問に取り組む動画の内容をまとめながら、

どのように問題を読み解き、
どこで方針を決め、
どうやって結論まで導いていったのか

を解説していきます。

※この解説は、大阪大学の公表したものとは一切関係ございません。

※動画で見たい方はこちら。

▼YouTubeで見る
https://youtu.be/h3W3eROT2U4?si=zI5-u-l_KRJHltMj

▼okkeで誘惑なしで見る
https://okke.app/videos/h3W3eROT2U4

問題（0:11～）

問題設定を理解する（0:20～）、(1)の問いを理解する（1:39〜）

最初におこなっているのは、問題設定の丁寧な読み取りです。

初見では、図などで可視化して状況を整理しながら読んでいきます。与えられた条件を、自分の知っている枠組みで理解できるように言語化して落とし込んでいくことが大切です。

この問題では、実際に図を書くことで、登場するABCの並びが限られてくることなど、問題条件の理解がかなり早まります。

解法の組み立てを考える（3:17〜）

問題の設定を一通り確認したあとは、確率の一般項の求め方の主なパターン（直接 or 漸化式利用）を思い出し、とりあえず漸化式を使って一般項を計算する流れでいってみよう、と仮決めしています。

また、引き算をさせている問題の意図も考えてみるものの、思いつくものも特にないので、それぞれの偶数項目の一般項を求めることに頭を切り替えています。

とりあえず直接やってみる（3:46〜）

漸化式を立てるために、推移図に整理したいので、状況を見える化しながら解き進めています。そのためには、偶数回目にはどのような状態があり得るのか、それらがどれくらいの確率で遷移するのかの情報が必要なので、まずは手を動かして、これらの情報をゴリゴリと集めにかかります。

ひらめき：規則性に気づく（4:50〜）

具体的に実験してみると、重要な規則性が見えてきます。

一見すると、ABCの並びは

3!＝6通り

すべて出てきそうですが、実際にはそうではありません。

実際に手を動かして何回か進めてみることで、

偶数回目が終了した時点では、状態が「ABC・BCA・CAB」の3パターンのいずれかに限られる

ことに気づけます。偶数回目終了時点の状態が3パターンしかないという規則性が見えたことで、これらの状態間の推移確率を求めて、漸化式が立てられます。

これにより、解ける見通しが一気につきました。

計算開始（5:54〜）

あとは、立てた連立漸化式を解いていけば求められます。今回は、偶数項目の一般項を求めていて、公比を掛ける回数にだけ細心の注意が必要です。

また、一般項を求める問題では、小さな値などで具体的に検算して、妥当性をチェックすることも重要です。

(2) (1)を使って、まずは n が偶数のときを考える（8:07〜）

先の（1）で偶数項目の漸化式を立てたことから、素直に解いて、まずは偶数項目を求めます。

n が奇数のときを考える（9:15〜）、方針を「推測 → 確認」する（9:41〜）

偶数回目の整理ができたあとで、次に奇数回目を考えます。

ここでは、偶数回目の実験で見えた構造をもとに、

「奇数回目も、結局は限られたパターンしか出ないのでは？」

と推測し、それを実際に確かめる、という流れを取っています。

旧帝大数学では、この「推測→検証」の姿勢が非常に重要 です。

答案への落とし込み（10:18〜）

ここまでで結論は見えたので、あとはそれを答案に書き起こすための頭の整理・実際の答案作成をおこなっています。

振り返り（10:55〜）

偶数回・奇数回で場合分けする考え方自体は、確率や数列の問題ではよく見られます。単体の問題では解いたことのある人も多いでしょう。

ただし、今回は問題設定とルールが複雑で、偶奇分けしたからといってすぐに解けるものではなく、実際に手を動かして状況を確かめることが重要になる問題でした。

設問(1)では「偶数回目」を調べるように指示されており、これは「偶奇で分けて考えてね」という大きなヒントになっています。確率の一般項の求め方として、ここでは漸化式から求める作戦を決め、漸化式を立てるために推移図を描くという作業に移ります。

推移図を作る過程で具体的に試してみると、一見たくさんあるように見えた状態が、実は偶数回目に絞ると限られたパターンしか現れないことに気づきます。

この時点で、問題全体の構造がかなり明確になります。

この実験をふまえると、奇数回目についても限られたパターンしか現れないことが見えるので、一気に(2)も解決に至ります。

この初見動画から学べること

この動画から分かる、阪大数学攻略のポイントは次の通りです。

まずはとにかく、考え方のパターンや決まった解法をある程度頭で整理しておき、いつでも取り出せるようにしておく（今回でいうと、確率の一般項の求め方や、推移図→漸化式立式の流れは確実にマスターしておく必要がある）
すぐに解こうとせず、まず手を動かしてみて具体例で状況を把握する（それ自体が小問になっていることもある）
設問や前の小問に誘導が隠れていないかも確認する
できるときは、小さな値や特徴的な場合で解答の妥当性をチェックする

これらは、阪大数学に限らず、国公立二次試験全般で非常に有効な考え方 です。